Е (функции Е). Функция: область определения и область значений функций Выражения через тригонометрические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число — иррациональная и трансцендентная математическая константа, называемая числом Эйлера или числом Непера , являющаяся основанием натурального логарифма.

Негласно константа присутствует в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов» шотландского математика Джона Непера (1550-1617) (а точнее в приложении к переводу этой работы, который был опубликован в 1618 г.). Первые упоминания про эту константу имеются в письмах саксонского философа, логика, математика, механика, физика, юриста, историка, дипломата, изобретателя и языковеда Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) к нидерландскому механику, физику, математику, астроному и изобретателю Христиану Гюйнгенсу ван Зёйлихему (1629-1695) в 1690-91 гг. Там она обозначалась буквой . Традиционное обозначение в 1727 г. начал использовать швейцарский, немецкий, российский математик и механик Леонард Эйлер (1707-1783); впервые он употребил ее в своем письме к немецкому математику Кристиану Гольдбаху (1690-1764) в 1731 г. Первой публикацией с этой буквой была работа Л. Эйлера «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). Сама же константа впервые была вычислена швейцарским математиком Якобом Бернулли (1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода:

Число играет большую роль в различных разделах математики, а особенно в дифференциальном и интегральном исчислении. Трансцендентность числа Эйлера была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом (1822-1901) только в 1873 г.

Задания числа e

1) Через предел:

Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.

Число $e$

Определение 1

Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Определение 2

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Замечание 1

Последней формулой описывается второй замечательный предел .

Число е также носит название числа Эйлера , а иногда и числа Непера .

Замечание 2

Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой» . Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.

Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}⁡a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln ⁡a$.

Натуральный логарифм

Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.

Определение 4

Логарифм с основанием $е$ называют натуральным .

Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}⁡a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln ⁡a$.

Свойства натурального логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:

Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:

Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

$\ln⁡\frac{a}{b}=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}$.

Решение .

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \ln ⁡4e-\ln⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=\frac{2(\ln ⁡4+\ln ⁡e)-\ln⁡ 4^2}{\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac{1}{2} \ln⁡ 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln ⁡e=1$:

$=\frac{2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4}{\ln ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln ⁡5}=\frac{2}{\ln ⁡5+1-\ln ⁡5}=2$.

Ответ : $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Найти значение выражения $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.

Решение .

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln ⁡e=1$.

Ответ : $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Решение .

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Ответ : $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Ответ : $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=-6$.

Хотя эта связь на первый взгляд эта связь кажется совсем неочевидной (одно дело, казалось бы, научная математика, и совсем другое - экономика и финансы), но стоит изучить историю "открытия" этого числа, всё становится очевидным. В самом деле, как бы ни делили науки на разные вроде как несвязанные меж собой ветви, но общая парадигма всё равно будет единой (в частности, обществу потребления - "потребительская" же и математика).

Для начала определение. e - основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Поскольку функция экспоненты e^x интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e принимаются как натуральные (хотя само название "натуральности" должно бы быть под большим сомнением, ведь вся математика по сути устроена на искусственных придуманных, оторванных от природы выдуманных началах, а вовсе не на естественных).

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как Непер не использовал непосредственно само число.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из КИНЕМАТИЧЕСКИХ соображений, сама же константа не присутствует.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли (по официальной версии в 1690 году) в ходе решения задачи о предельной величине ПРОЦЕНТНОГО ДОХОДА. Он обнаружил, что если исходная сумма $1 (валюта совершенно неважна) и начисляется 100 % годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводят к $1.00×1.254 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов БЕСКОНЕЧНО УВЕЛИЧИВАТЬ, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел - и этот предел равен 2,71828…

$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - в пределе число е

Таким образом, число e на самом деле исторически означает максимально возможную ГОДОВУЮ ПРИБЫЛЬ при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов. И при чём здесь законы Вселенной ? Число е - один из важных кирпичиков в фундаменте денежной экономики ссудного процента в обществе потребления, под которую с самого начала, даже на мыслительном философском уровне, подгонялась и затачивалась несколько столетий назад вся используемая сегодня математика.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер (Euler).

Но в любом случае, говорить о том, что число е каким-то образом относится к универсальным законам Вселенной и природы, просто абсурдно. Это число самой концепцией изначально привязывалось к кредитно-финансовой денежной системе, и в частности через это число (но не только) идеология кредитно-финансовой системы косвенно влияла и на формирование и развитие всей остальной математики, а через неё и всех остальных наук (ведь все без исключения науки что-то считают, используя при этом правила и подходы математики). Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, которое через неё фактически тоже связано с идеологией и философией максимизации процентного дохода (можно даже сказать, связано подсознательно). Как связан и натуральный логарифм. Установление е в качестве константы (вместе со всем прочим) привело к образованию неявных связей в мышлении, в соответствии с которыми вся существующая математика просто не может существовать в отрыве от денежной системы! И в этом свете совершенно неудивительно, что древние славяне (да и не только они) прекрасно обходились без констант, иррациональных и трансцендентных чисел да и без чисел и цифр вообще (в качестве чисел в древности выступали буквы), другая логика, другое мышление в системе в отсутствии денег (а значит и всего, что с ними связано) делает всё вышеперечисленное попросту ненужным.

Каждая из функций Е проверяет указанное значение и возвращает в зависимости от результата значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, функция ЕПУСТО возвращает логическое значение ИСТИНА, если проверяемое значение является ссылкой на пустую ячейку; в противном случае возвращается логическое значение ЛОЖЬ.

Функции Е используются для получения сведений о значении перед выполнением с ним вычисления или другого действия. Например, для выполнения другого действия при возникновении ошибки можно использовать функцию ЕОШИБКА в сочетании с функцией ЕСЛИ :

= ЕСЛИ( ЕОШИБКА(A1); "Произошла ошибка."; A1 * 2)

Эта формула проверяет наличие ошибки в ячейке A1. При возникновении ошибки функция ЕСЛИ возвращает сообщение "Произошла ошибка." Если ошибки отсутствуют, функция ЕСЛИ вычисляет произведение A1*2.

Синтаксис

ЕПУСТО(значение)

ЕОШ(значение)

ЕОШИБКА(значение)

ЕЛОГИЧ(значение)

ЕНД(значение)

ЕНЕТЕКСТ(значение)

ЕТЕКСТ(значение)

аргумент функции Е описаны ниже.

значение Обязательный аргумент. Проверяемое значение. Значением этого аргумента может быть пустая ячейка, значение ошибки, логическое значение, текст, число, ссылка на любой из перечисленных объектов или имя такого объекта.

Замечания

Аргументы в функциях Е не преобразуются. Любые числа, заключенные в кавычки, воспринимаются как текст. Например, в большинстве других функций, требующих числового аргумента, текстовое значение "19" преобразуется в число 19. Однако в формуле ЕЧИСЛО("19") это значение не преобразуется из текста в число, и функция ЕЧИСЛО возвращает значение ЛОЖЬ.

С помощью функций Е удобно проверять результаты вычислений в формулах. Комбинируя эти функции с функцией ЕСЛИ , можно находить ошибки в формулах (см. приведенные ниже примеры).

Примеры

Пример 1

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем - клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Скопируйте образец данных из приведенной ниже таблицы и вставьте его в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем - клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2 x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%) x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост ) x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.